Determinant nədir?
Determinant, riyaziyyatda kvadrat matrisin müəyyən bir qiymətini təyin etmək üçün istifadə olunan xüsusi bir ədədi dəyərdir. Kvadrat matrislərdə istifadə edilən determinant hesablanması, xətti cəbr və müxtəlif riyazi problemlərin həllində əhəmiyyətli rol oynayır. Determinant anlayışı bir çox tətbiq sahəsində – mühəndislik, kompüter qrafikası, fizika və s. – geniş istifadə olunur.
Determinantın əsas funksiyası matrisin invertibilliyini (ters çevrilə bilən olub-olmamasını) yoxlamaqdır. Əgər bir matrisin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, o matris tərs çevrilə biləndir. Lakin determinant sıfıra bərabərdirsə, matrisin tərsi mövcud deyil və bu, onun həll edilməsi mümkün olmayan bir sistem olduğunu göstərir.
Bu məqalədə determinantın nə olduğu, onun xüsusiyyətləri və istifadə sahələri haqqında ətraflı məlumat veriləcəkdir.
Determinantın tarixi və mənşəyi
Determinantın mənşəyi 17-ci əsrdə riyaziyyatçılar tərəfindən ortaya atılmışdır. İlk dəfə alman riyaziyyatçısı Gotfrid Leybniz determinant anlayışını təqdim etmişdir. Daha sonra, yapon riyaziyyatçısı Seki Kowa bu anlayışı inkişaf etdirmiş və determinant hesablamalarında yeni metodlar təklif etmişdir. 18-ci əsrdə isə fransız riyaziyyatçı Gaspard Monge determinantların xətti cəbrdəki əhəmiyyətini vurğulamış və onları riyazi problemlərin həllində geniş istifadə etmişdir.
Determinantın əsas xüsusiyyətləri
Determinant bir sıra vacib xüsusiyyətlərə malikdir və bu xüsusiyyətlər onun müxtəlif riyazi əməliyyatlarda istifadəsinə imkan verir. Aşağıda determinantın əsas xüsusiyyətləri göstərilmişdir:
Determinant yalnız kvadrat matrislərə tətbiq olunur, yəni sətir və sütun sayları bərabər olan matrislər üçün müəyyən edilir. Məsələn, 2x22x22x2, 3x33x33x3 və ya nxnn x nnxn ölçülü matrislər determinant hesablamasına uyğun gəlir.
Əgər matrisin determinantı sıfıra bərabərdirsə, bu o deməkdir ki, həmin matris tərs çevrilə bilən deyil. Belə matrislər “dəyişməz” və ya “singular” olaraq adlandırılır. Bu vəziyyət həm də xətti tənlik sistemlərinin həll olunmadığını göstərir.
Bir matrisin satır və ya sütunlarında dəyişiklik etmək determinantın dəyişməsinə səbəb olur. Ancaq müəyyən qaydalara riayət edildikdə, məsələn, sətir və ya sütunların bir-birinə əlavə edilməsi determinantın dəyişməsinə səbəb olmur.
Determinantın qiyməti matrisin ölçülərinə bağlıdır və bu qiymət fərqli ölçülü matrislər üçün dəyişir. Məsələn, 2x22x22x2 matrisin determinantı bir formul ilə hesablansa da, 3x33x33x3 və ya daha böyük ölçülü matrislər üçün daha mürəkkəb formul tələb olunur.
Determinantın hesablanma üsulları
Determinantın hesablanması üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Determinantın ölçüsünə bağlı olaraq hesablamanın üsulu dəyişir. Aşağıda determinantın müxtəlif ölçülü matrislər üçün necə hesablandığı izah edilmişdir.
Ən sadə determinant hesablaması 2x22x22x2 ölçülü matris üçün həyata keçirilir. Məsələn, belə bir matrisin determinantını hesablamaq üçün aşağıdakı formula tətbiq edilir:det(A)=a×d−b×c\text{det}(A) = a \times d – b \times cdet(A)=a×d−b×c
Burada aaa, bbb, ccc və ddd matrisin elementləridir.
3x33x33x3 ölçülü matris üçün determinant hesablanması daha mürəkkəbdir. Bu halda cofactor genişlənməsi və ya Sarrus qaydası kimi metodlardan istifadə edilir. Məsələn, bir 3x33x33x3 matrisin determinantı üçün cofactor genişlənməsi belə həyata keçirilir:det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\text{det}(A) = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)
Bu formullarla matrisin determinantını hesablamaq mümkündür.
Daha böyük ölçülü matrislər üçün determinant hesablaması daha mürəkkəb metodlar tələb edir. Bu halda Laplas genişlənməsi və ya matrisin sıra və sütunları boyunca parçalanması ilə hesablamalar həyata keçirilir. Kompüter proqramları, xüsusilə MATLAB, Python, R kimi proqramlaşdırma dillərində olan kitabxanalar daha böyük ölçülü determinantları tez və dəqiq şəkildə hesablamaq üçün istifadə edilir.
Determinantın tətbiq sahələri
Determinantın tətbiqi sahələri genişdir və o, müxtəlif elmlərdə və texniki sahələrdə istifadə olunur. Aşağıda determinantın tətbiq edildiyi əsas sahələr izah edilmişdir:
Determinant xətti tənlik sistemlərinin həllində əsas vasitələrdən biridir. Cramer qaydası adlanan bir metodla determinantlar vasitəsilə xətti tənlik sistemləri həll edilə bilər. Bu qayda, sistemin həll olunduğunu və ya həllinin mövcud olmadığını göstərir.
Determinant, vektorial hesablarda, xüsusilə paralellik və xətti asılılıq məsələlərində istifadə edilir. Fəza hesablamalarında iki və ya daha çox vektorun xətti asılı olub-olmamasını yoxlamaq üçün determinant hesablanır. Bu yanaşma mühəndislik və fizika sahəsində geniş yayılmışdır.
Determinant, matrislərin tərsini tapmaq üçün də istifadə olunur. Əgər bir matrisin determinantı sıfıra bərabər deyilsə, həmin matrisin tərsi mövcuddur və onu hesablamaq mümkündür.
Diferensial tənliklərdə determinantlardan istifadə edilərək həll yolları müəyyənləşdirilir. Bu tənliklər fizika, kimya və iqtisadiyyatda müxtəlif proseslərin modelini qurmaq üçün istifadə edilir.
Determinant riyaziyyatda matrislər üzərində hesablanan və matrisin əsas xüsusiyyətlərini müəyyən edən bir dəyərdir. Bu anlayış xətti tənliklərin həlli, vektorların asılılıq dərəcəsi və invert matrislərin tapılması kimi bir çox sahədə geniş tətbiq olunur. Determinantların müxtəlif ölçülü matrislər üçün hesablanması və onların fərqli tətbiq sahələrində istifadəsi bu anlayışın riyaziyyatda əhəmiyyətini vurğulayır.